$$\frac{9+6\sqrt{7}\times7}{2}=a+b\sqrt{7}$$
$a=\frac{2\sqrt{7}\left(21-b\right)+9}{2}$
$$9+6\times 7\sqrt{7}=2a+2b\sqrt{7}$$
$$9+42\sqrt{7}=2a+2b\sqrt{7}$$
$$2a+2b\sqrt{7}=9+42\sqrt{7}$$
$$2a=9+42\sqrt{7}-2b\sqrt{7}$$
$$2a=-2\sqrt{7}b+42\sqrt{7}+9$$
$$\frac{2a}{2}=\frac{-2\sqrt{7}b+42\sqrt{7}+9}{2}$$
$$a=\frac{-2\sqrt{7}b+42\sqrt{7}+9}{2}$$
$$a=-\sqrt{7}b+21\sqrt{7}+\frac{9}{2}$$
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$b=-\frac{\sqrt{7}a}{7}+\frac{9\sqrt{7}}{14}+21$
$$2b\sqrt{7}=9+42\sqrt{7}-2a$$
$$2\sqrt{7}b=-2a+42\sqrt{7}+9$$
$$\frac{2\sqrt{7}b}{2\sqrt{7}}=\frac{-2a+42\sqrt{7}+9}{2\sqrt{7}}$$
$$b=\frac{-2a+42\sqrt{7}+9}{2\sqrt{7}}$$
$$b=-\frac{\sqrt{7}a}{7}+\frac{9\sqrt{7}}{14}+21$$
