$$\frac{x+12}{x+2}\ge2$$
$x\in (-2,8]$
$$x+2>0$$ $$x+2<0$$
$$x>-2$$
$$x+12\geq 2\left(x+2\right)$$
$$x+12\geq 2x+4$$
$$x-2x\geq -12+4$$
$$-x\geq -8$$
$$x\leq 8$$
$$x\in (-2,8]$$
$$x<-2$$
$$x+12\leq 2\left(x+2\right)$$
$$x+12\leq 2x+4$$
$$x-2x\leq -12+4$$
$$-x\leq -8$$
$$x\geq 8$$
$$x\in \emptyset$$
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