$$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+--+i^{1000}$$
$1$
$$i-1+i^{3}+i^{4}-\left(-i^{1000}\right)$$
$$i-1-i+i^{4}-\left(-i^{1000}\right)$$
$$i^{4}-\left(-i^{1000}\right)-1$$
$$1-\left(-i^{1000}\right)-1$$
$$1-\left(-1\right)-1$$
$$1+1-1$$
$$2-1$$
$$1$$
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$$Re(i-1+i^{3}+i^{4}-\left(-i^{1000}\right))$$
$$Re(i-1-i+i^{4}-\left(-i^{1000}\right))$$
$$Re(i^{4}-\left(-i^{1000}\right)-1)$$
$$Re(1-\left(-i^{1000}\right)-1)$$
$$Re(1-\left(-1\right)-1)$$
$$Re(1+1-1)$$
$$Re(2-1)$$
$$Re(1)$$
